Question

(本题满分15分) 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.
若直线的斜率为1,求的长;
是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.

Answer 1

解:(1)由题意,可设抛物线方程为.         …………1分
由,得.                               …………2分
抛物线的焦点为,.                             …………3分
抛物线D的方程为.                                …………4分
(2)设,.                                   …………5分
直线的方程为：,              …………6分
联立,整理得:  …………7分
=.…………9分
(ⅱ) 设存在直线满足题意,则圆心,过作直线的垂线,垂足为,设直线与圆的一个交点为.可得:          …………10分
                              …………11分
即=
=
==                    …………13分
当时, ,此时直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值.
…………14分
因此存在直线满足题意                       …………15分

略