Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bcosC+

3

bsinC=a+c．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=

3

，求a+c的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）运用正弦定理，将边化为角，再由两角和差的正弦公式，化简整理即可得到角B；
（2）运用两角和的正弦公式，结合C的范围，由正弦函数的图象和性质即可得到范围．

解答： 解：（1）由正弦定理，可得，
bcosC+

3

bsinC=a+c即为
sinBcosC+

3

sinBsinC=sinA+sinC
=sin（B+C）+sinC
=sinBcosC+cosBsinC+sinC，
即有

3

sinB-cosB=1，
即2（

3

2

sinB-

1

2

cosB）=1，
即有sin（B-

π

6

）=

1

2

，
由于0＜B＜π，则有B-

π

6

=

π

6

，
则B=

π

3

；
（2）A+C=π-B=

2π

3

，
则0＜C＜

2π

3

，
则a+c=bcosC+

3

bsinC=

3

cosC+3sinC
=2

3

（

1

2

cosC+

3

2

sinC）
=2

3

sin（C+

π

6

），
由于

π

6

＜C+

π

6

＜

5π

6

，则

1

2

＜sin（C+

π

6

）≤1，
则a+c的取值范围是（

3

，2

3

]．

点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角函数的化简和求值，考查两角和差的正弦公式，正弦函数的图形和性质，考查运算能力，属于中档题．