Question

将函数f（x）=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移

π

4

个单位，所得函数为g（x）．
（1）求函数g（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数g（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先根据函数的图象变换求出g（x）的解析式，进一步求出函数的最小正周期和单调区间．
（2）根据（1）的结论，利用函数的定义域确定函数的值域

解答： 解：（1）函数f（x）=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移

π

4

个单位，
则：g（x）=sin(

1

2

x+

π

8

)
所以：T=

2π

1 2

=4π
令：-

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

8

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：-

5π

4

+4kπ≤x≤

3π

4

+4kπ
函数的递增区间为：x∈[-

5π

4

+4kπ，

3π

4

+4kπ]（k∈Z）
（2）由于：

π

8

≤x≤

3π

4

所以：

3π

16

≤

1

2

x+

π

8

≤

π

2

根据函数的单调性：当x=

π

4

时，函数取最大值f（x）_max=1
当x=

π

8

时，函数取最小值f(x)min=sin

3π

16

点评：本题考查的知识要点：正弦型函数的图象变换问题，正弦型函数的周期和单调区间的应用，正弦型函数的最值，属于基础题型．