Question

3．二项式（x³+$\frac{1}{{x}^{4}}$）ⁿ的展开式中，第二、三、四项二项式系数成等差数列，则展开式中的常数项是（　　）

• A． 21
• B． 35
• C． 56
• D． 28

Answer 1

分析 二项式（x³+$\frac{1}{{x}^{4}}$）ⁿ的展开式中，第二、三、四项二项式系数成等差数列，可得2${∁}_{n}^{2}$=${∁}_{n}^{1}$+${∁}_{n}^{3}$，化为：n²-9n+14=0，解得n，再利用通项公式即可得出．

解答 解：∵二项式（x³+$\frac{1}{{x}^{4}}$）ⁿ的展开式中，第二、三、四项二项式系数成等差数列，
∴2${∁}_{n}^{2}$=${∁}_{n}^{1}$+${∁}_{n}^{3}$，化为：n²-9n+14=0，解得n=7，或2（舍去）．
∴$（{x}^{3}+\frac{1}{{x}^{4}}）^{7}$的通项公式为：T_r+1=${∁}_{7}^{r}$$（{x}^{3}）^{7-r}（\frac{1}{{x}^{4}}）^{r}$=${∁}_{7}^{r}$x^21-7r，令21-7r=0，解得r=3．
∴展开式中的常数项是${∁}_{7}^{3}$=35．
故选：B．

点评 本题考查了二项式定理的应用、方程的思想方法、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．