Question

已知圆C₁：x²+y²-4x+8y+11=0与C₂：x²+y²-2x+6y+11+2m=0相交，另一圆C与x轴相切，且与圆C₁关于C₁、C₂的公共弦所在直线L对称，求m的值及圆C的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：求出两个圆的圆心坐标，求出圆C₁关于公共弦对称的点的坐标，即圆心C的坐标，利用圆C与x轴相切，建立条件关系即可求出m的值．

解答： 解：圆C₁：x²+y²-4x+8y+11=0与圆C₂：x²+y²-2x+6y+11+2m=0的公共弦方程为x-y+m=0，
圆C₁：x²+y²-4x+8y+11=0的标准方程为（x-2）²+（y+4）²=9，圆心C₁（2，-4），半径r=3，
圆C₂：x²+y²-2x+6y+11+2m=0的标准方程为（x-1）²+（y+3）²=-1-2m，圆心C₂（1，-3），半径r=

-1-2m

，
则-1-2m＞0，即m＜-

1

2

．
∵圆C与圆C₁关于直线x-y+m=0对称，
∴圆C的半径R=3，
∵圆心C₁（2，-4）关于x-y+m=0对称的点为（-4-m，2+m），
∴C（-4-m，2+m），
∵圆C与x轴相切，
∴|2+m|=3，解得m=1或m=-5，
∴m=-5，此时圆C₂：（x-1）²+（y+3）²=9，半径R=3，
|C₁C₂|=

(2-1)2+(-3+4)2

=

2

，
满足圆C₁与C₂相交，
∴m=-5，此时C（1，-3），
即圆C的方程为x-1）²+（y+3）²=9．

点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，利用配方法求出圆心坐标是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．有一定的难度．