Question

已知向量

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），设函数f（x）=

m

•

n

+

1

2

．
（1）若x∈[0，

π

2

]，f（x）=

3

3

，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足2acosB≤2c-

3

b．求f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（1）首先，根据向量的数量积的运算性质并结合二倍角公式，得到f（x）=sin（x-

π

6

），然后，结合x∈[0，

π

2

]，并得到cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]，然后，求解其值即可；
（2）根据正弦定理，得到cosA≥

3

2

，从而得到0＜A≤

π

6

，然后，结合三角函数的单调性求解其范围．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），
∴函数f（x）=

m

•

n

+

1

2

=

3

sin

x

2

cos

x

2

-cos²

x

2

+

1

2

=

3

2

sinx-

1

2

（2cos²

x

2

-1）
=

3

2

sinx-

1

2

cosx
=sin（x-

π

6

），
∴f（x）=sin（x-

π

6

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴cos（x-

π

6

）＞0，
∴cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]=cos（x-

π

6

）cos

π

6

-sin（x-

π

6

）sin

π

6

=

6

3

×

3

2

-

3

6

=

2

2

-

3

6

．
∴cosx=

2

2

-

3

6

．
（2）根据正弦定理，由2acosB≤2c-

3

b，得
2sinAcosB≤2sin（A+B）-

3

sinB，
∴2cosAsinB-

3

sinB≥0，
∴cosA≥

3

2

，
∵0＜A＜π，
∴0＜A≤

π

6

，
∴f（A）=sin（A-

π

6

），
∵0＜A≤

π

6

，
∴-

π

6

＜A-

π

6

≤0，
∴f（A）∈（-

1

2

，0]，
∴f（A）的取值范围（-

1

2

，0]．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、二倍角公式、平面向量的基本运算等知识，属于中档题．