题目内容
设e1，e2分别是具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，O是F1，F2的中点，且满足|PO|=|OF2|，则
= ．
| e1e2 | ||||||
|
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设出椭圆的长半轴，双曲线的实半轴，它们的半焦距，利用椭圆的和双曲线的定义可得焦半径，写出两个曲线的离心率，即可得到结果．
解答：
解：设椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c
并设|PF1|=m，|PF2|=n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a1，m-n=2a2，
解得m=a1+a2，n=a1-a2，
∵|PO|=|OF2|，∴PF1⊥PF2，
由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2
∴（a1+a2）2+（a1-a2）2=（2c）2
化简可得a12+a22=2c2
∴
+
=2
∴
=
=
=
，
故答案为：
．
并设|PF1|=m，|PF2|=n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n=2a1，m-n=2a2，
解得m=a1+a2，n=a1-a2，
∵|PO|=|OF2|，∴PF1⊥PF2，
由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2
∴（a1+a2）2+（a1-a2）2=（2c）2
化简可得a12+a22=2c2
∴
| 1 |
| e12 |
| 1 |
| e22 |
∴
| e1e2 | ||||||
|
|
| 1 | ||
|
| ||
| 2 |
故答案为：
| ||
| 2 |
点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是得到两个曲线的参数之间的关系，属于中档题．
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