Question

已知向量

a

=（

3

cosx，cosx），向量

b

=（sinx，cosx），记f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[-

π

4

，

π

4

]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）根据先将f（x）=

a

•

b

化简为f（x）═sin(2x+

π

6

)+

1

2

，然后根据三角函数性质求解即可；
（Ⅱ）根据三角函数单调性求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

a

=（

3

cosx，cosx），向量

b

=（sinx，cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=

3

cosxsinx+cos2x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ得，
-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ．
∴函数f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
x∈[-

π

4

，

π

6

]时，f（x）单调递增，
x∈(

π

6

，

π

4

]时，f（x）单调递减．
∴f(x)max=f(

π

6

)=

3

2

，
又∵f(-

π

4

)=-

3

2

+

1

2

＜f(

π

4

)=

3

2

+

1

2

，
∴f（x）_min=f(-

π

4

)=-

3

2

+

1

2

．
∴x∈[-

π

4

，

π

4

]，函数f（x）的值域为[

1- 3

2

，

3

2

]．

点评：本题主要考查向量的数量积运算，倍角公式，两角和的正弦公式，三角函数性质等知识的综合应用．属于中档题．