Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，△PF₁F₂的周长为16，直线2x+y=4经过椭圆上的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆交于A、B两点，若以AB为直径的圆同时被直线l₁：10x-5y-21=0与l₂：10x-15y-33=0平分，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）首先，设椭圆的半焦距，然后，建立方程组，求解a，b即可确定其标准方程；
（2）首先，联立方程组求解点M的坐标，然后设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁≠x₂，代入椭圆的标准方程，然后，利用两个方程相减思想，进而确定直线l的斜率，从而得到其直线方程．

解答： 解：（1）设椭圆的半焦距为c，则根据题意，
得

b=4 2a+2c=16 a2=b2+c2

，
解得

a=5 c=3

，
∴b=4，
∴

x2

25

+

y2

16

=1，
所以椭圆的标准方程为：

x2

25

+

y2

16

=1．
（2）设AB的中点为M（x，y），则

10x-5y-21=0 10x-15y-33=0

，
∴

x= 3 2 y=- 6 5

，
∴M（

3

2

，-

6

5

），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁≠x₂，
将A、B点的坐标代人椭圆的标准方程，得
∴

x12 25 + y12 16 =1 x22 25 + y22 16 =1

，
两式相减，得

x12-x22

25

+

y12-y22

16

=0，
∴

(x1-x2)(x1+x2)

25

+

(y1-y2)(y1+y2)

16

=0，
又∵AB的中点为M（

3

2

，-

6

5

），
∴x₁+x₂=3，y₁+y₂=-

12

5

，
∴

3

25

(x1-x2)-

3

20

(y1-y2)=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=

4

5

，
即直线l的斜率为

4

5

，
∴直线l的方程为：y+

6

5

=

4

5

（x-

3

2

），
即4x-5y-12=0．
∴直线l的方程为4x-5y-12=0．

点评：本题重点考查了直线方程、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦的中点问题等知识，属于中档题，注意掌握“设而不求”思想在求解弦的中点问题中的灵活运用．