Question

下列4个命题中，真命题的个数是（　　）
①如果a＞0且a≠1，那么log_af（x）=log_ag（x）的充要条件是a^f（x）=a^g（x）
②如果A、B为△ABC的两个内角，那么A＞B的充要条件是sinA＞sinB
③如果向量

a

与向量

b

均为非零向量，那么(

a

•

b

)2=

a

2•

b

2
④函数f(x)=

sin2x+2

|sinx|

的最小值为2

2

．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用指数函数和对数函数的单调性即可判断出；
②由A、B为△ABC的两个内角，由B＜A?b＜a?sinB＜sinA即可判断出；
③利用数量积的定义可得(

a

•

b

)2=|

a

|2|

b

|2cos2＜

a

，

b

＞≠

a

2×

b

2，即可判断出；
④利用基本不等式即可判断出．

解答： 解：①由a＞0且a≠1，利用指数函数和对数函数的单调性可知：
log_af（x）=log_ag（x）⇒a^f（x）=a^g（x），反之不一定成立，如当f（x）=g（x）＜0时，
因此a^f（x）=a^g（x）是log_af（x）=log_ag（x）的必要不充分条件．因此不正确；
②由A、B为△ABC的两个内角，且B＜A，∴b＜a．
根据正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，∴sinB＜sinA．反之也成立．
因此A＞B的充要条件是sinA＞sinB．因此②正确．
③如果向量

a

与向量

b

均为非零向量，那么(

a

•

b

)2=|

a

|2|

b

|2cos2＜

a

，

b

＞≠

a

2×

b

2，因此不正确．
④函数f(x)=

sin2x+2

|sinx|

=|sinx|+

2

|sinx|

＞2

2

，因此不正确．
综上可知：只有②正确．
故选：B．

点评：本题综合考查了指数函数和对数函数的单调性、正弦函数的单调性、数量积的定义、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．