Question

16．同时满足两个条件：（1）定义域内是减函数；（2）定义域内是奇函数的函数是（　　）

• A． f（x）=-x|x|
• B． $f（x）=x+\frac{1}{x}$
• C． f（x）=tanx
• D． $f（x）=\frac{lnx}{x}$

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义域判断出f（x）是奇函数、化简f（x）后由二次函数的单调性判断出f（x）的单调性，可判断A；由基本初等函数的单调性判断B、C，根据f（x）的定义域判断D．

解答 解：A、因为f（x）的定义域是R，且f（x）=x|-x|=-f（x），
所以f（x）是奇函数，
因为f（x）=-x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x＞0}\\{{x}^{2}，x≤0}\end{array}\right.$，所以f（x）在定义域上是减函数，
可知符合题中条件，A正确；
B、函数$f（x）=x+\frac{1}{x}$在定义域{x|x≠0}不是单调函数，不符合题意，B不正确；
C、f（x）=tanx在定义域内不是单调函数，C不正确；
D、函数f（x）的定义域是（0，+∞），关于原点不对称，不是奇函数，D不正确．
故选A．

点评 本题考查函数奇偶性的定义，以及基本初等函数的单调性的应用，熟练掌握基本初等函数的奇偶性和单调性是解题的关键．