Question

5．已知实数a，b，c均大于0．
（1）求证：$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ca}$≤a+b+c；
（2）若a+b+c=1，求证：$\frac{2ab}{a+b}+\frac{2bc}{b+c}+\frac{2ac}{a+c}$≤1．

Answer 1

分析 直接利用基本不等式，即可证明．

解答 证明：（1）∵实数a，b，c均大于0，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$，b+c≥2$\sqrt{bc}$，c+a≥2$\sqrt{ca}$，
三式相加，可得：$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ca}$≤a+b+c；
（2）∵a+b≥2$\sqrt{ab}$，b+c≥2$\sqrt{bc}$，c+a≥2$\sqrt{ca}$，
∴$\frac{2ab}{a+b}+\frac{2bc}{b+c}+\frac{2ac}{a+c}$≤$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ca}$≤a+b+c=1．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．