Question

4．在边长为3的正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图（1）将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图（2））．
（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）求二面角B-A₁P-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在图（1）中，取BE的中点D，连结DF，由已知可得△ADF为正三角形．进一步得到EF⊥AD．在图（2）中，可得A₁E⊥EF，BE⊥EF，即∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，可得A₁E⊥平面BEP； 
（2）分别以EB、EF、EA₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，然后分别求出面EA₁P与面BA₁P的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值得答案．

解答 （1）证明：在图（1）中，取BE的中点D，连结DF，
∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，
而∠A=60°，∴△ADF为正三角形．
又AE=DE=1，∴EF⊥AD．
在图（2）中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的一个平面角，
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A₁E⊥平面BEP； 
（2）解：分别以EB、EF、EA₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则E（0，0，0），B（2，0，0），P（1，$\sqrt{3}$，0），A₁（0，0，1），
$\overrightarrow{E{A}_{1}}=（0，0，1），\overrightarrow{EP}=（1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{B{A}_{1}}=（-2，0，1），\overrightarrow{BP}=（-1，\sqrt{3}，0）$．
设面EA₁P的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{E{A}_{1}}=z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EP}=x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-1，0）；
设面BA₁P的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-2x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，2$\sqrt{3}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{3}-1×1}{2×4}$=$\frac{1}{4}$，
∴二面角B-A₁P-E的大小的余弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，训练了利用空间向量求二面角的平面角，关键是注意折叠问题中折叠前后的变量与不变量，是中档题．