Question

已知正项函数{a_n}满足a₁=1，a_n+1²=a_n（a_n+4）+4，n∈N^*，数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=-

1

bn+1

，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）证明：存在正整数k，使得对一切n∈N^*有b_n+k=b_n；
（3）求数列{a_nb_n}的前3n项和S_3n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1²=a_n（a_n+4）+4，可得（a_n+1+a_n+2）（a_n+1-a_n-2）=0，再由a_n＞0，得a_n+1-a_n=2，从而可知数列{a_n}为等差数列，易求a_n；
（2）该问题即求数列的周期，由b_n+1=-

1

bn+1

可推得b_n+3=b_n；
（3）由（2）知当k∈N^*时，b_3k-2=b₁=1，b3k-1=b2=-

1

2

，b_3k=b₃=-2，从而有a_3k-2b_3k-2+a_3k-1b_3k-1+a_3kb_3k=[2（3k-2）-1]×1+[2（3k-1）-1]×（-

1

2

）+（2×3k-1）×（-2）=-9k-

3

2

，据此可得数列{a_nb_n}的前3n项和S_3n=（a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃）+（a₄b₄+a₅b₅+a₆b₆）+…+（a_3n-2b_3n-2+a_3n-1b_3n-1+a_3nb_3n），代入数值可求；

解答： 解：（1）由a_n+1²=a_n（a_n+4）+4，得a_n+1²=(an+2)2，
∴（a_n+1+a_n+2）（a_n+1-a_n-2）=0，
由a_n＞0，得a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}为等差数列，且公差为2，
∴{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．
（2）b_n+2=-

1

bn+1+1

=-

1

- 1 bn+1 +1

=-

bn+1

bn

，
bn+3=-

1

bn+2+1

=-

1

- bn+1 bn +1

=b_n，
∴当k=3时，对一切n∈N^*有b_n+k=b_n；
（3）b2=-

1

b1+1

=-

1

2

，b3=-

1

b2+1

=-2，
由（2）知当k∈N^*时，b_3k-2=b₁=1，b3k-1=b2=-

1

2

，b_3k=b₃=-2，
∴a_3k-2b_3k-2+a_3k-1b_3k-1+a_3kb_3k
=[2（3k-2）-1]×1+[2（3k-1）-1]×（-

1

2

）+（2×3k-1）×（-2）=-9k-

3

2

，
∴数列{a_nb_n}的前3n项和
S_3n=（a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃）+（a₄b₄+a₅b₅+a₆b₆）+…+（a_3n-2b_3n-2+a_3n-1b_3n-1+a_3nb_3n）
=-9（1+2+…+9）-

3

2

n=-

9

2

n2-6n．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和及数列的性质等知识，考查学生运算求解能力．