Question

15．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BB₁=4，则BB₁与平面ACD₁所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．设平面ACD₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，设BB₁与平面ACD₁所成角为θ，利用sinθ=|$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{B{B}_{1}}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{B{B}_{1}}|}$即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，4），
B（2，2，0），B₁（2，2，4），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，4），
$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，4）．
设平面ACD₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2y=0}\\{-2x+4z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（2，2，1），
设BB₁与平面ACD₁所成角为θ，
则sinθ=|$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{B{B}_{1}}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{B{B}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{9}×4}$=$\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用、向量夹角公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．