Question

若直线l：2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则|OA|+|OB|（O为坐标原点）的最小值为

 

．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，由直线被圆截得的弦长为4刚好为圆的直径，得到直线过圆心，所以把圆心坐标代入直线方程得到a+b的值，根据a+b的值，利用基本不等式即可|OA|+|OB|（O为坐标原点）的最小值．

解答： 解：圆x²+y²+2x-4y+1=0可化为（x+1）²+（y-2）²=4
∵直线l被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，
由直线被圆截取的弦长为4，圆的直径也为4，得到直线过圆心，
把圆心坐标代入直线方程得：-2a-2a+2=0，即a+b=1，
|OA|+|OB|=

1

a

+

2

b

=（a+b）（

1

a

+

2

b

）=3+

b

a

+

2a

b

≥3+2

2

，当且仅当

b

a

=

2a

b

时，取等号．
∴|OA|+|OB|（O为坐标原点）的最小值为3+2

2

．
故答案为：3+2

2

．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及基本不等式，根据题意得到已知直线过圆心是本题的突破点．