Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若a²=b²+c²-bc，

c

b

=

1

2

+

3

，则tanB=

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：利用余弦定理知a²=b²+c²-2bccosA，与a²=b²+c²-bc联立可得A=

π

3

；于是C=

2π

3

-B，利用正弦定理知：

c

b

=

sinC

sinB

=

sin( 2π 3 -B)

sinB

=

1

2

+

3

，展开计算即可求得tanB的值．

解答： 解：△ABC中，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，又a²=b²+c²-bc，
∴2cosA=1，
∴cosA=

1

2

，A为△ABC的内角，
∴A=

π

3

；
∴B+C=π-A=

2π

3

，
∴C=

2π

3

-B，
由正弦定理得：

c

b

=

sinC

sinB

=

sin( 2π 3 -B)

sinB

=

3 2 cosB-(- 1 2 )sinB

sinB

=

1

2

+

3

2

•

1

tanB

=

1

2

+

3

，

∴tanB=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，着重考查两角差的正弦，考查转化思想与运算能力，属于中档题．