Question

13．（Ⅰ）若a，b，均为正数，且a+b=1．证明：（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}{b}$）≥9；
（Ⅱ）若不等式|x+3|-|x-a|≥2的解集为{x|x≥1}，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将1=a+b代入，可得（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}{b}$）=（1+$\frac{a+b}{a}$）（1+$\frac{a+b}{b}$）=（1+1+$\frac{b}{a}$）（1+1+$\frac{a}{b}$）由三元均值不等式，即可得证；
（Ⅱ）由题意x＜a，不等式可化为x+3+x-a≥2，利用不等式|x+3|-|x-a|≥2的解集为{x|x≥1}，即可求实数a的值．

解答 （Ⅰ）证明：∵a，b，c，d均为正数，且a+b=1，
∴（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}{b}$）=（1+$\frac{a+b}{a}$）（1+$\frac{a+b}{b}$）
=（1+1+$\frac{b}{a}$）（1+1+$\frac{a}{b}$）  
≥（3•$\root{3}{\frac{b}{a}}$）（3•$\root{3}{\frac{a}{b}}$）=9，
∴（1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}{b}$）≥9；
（Ⅱ）解：由题意x＜a，不等式可化为x+3+x-a≥2，∴x≥$\frac{1}{2}$（a-1），
∴$\frac{1}{2}$（a-1）=1，∴a=2．

点评 本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查推理能力，属于中档题．