Question

3．盒中装有12个小球，除颜色外其余均相同，其中9个白的，3个红的，从盒中取3个（不管是否是红色）均染成红色后再放回盒中，此时盒中红色球个数ξ是一个随机变量，求ξ的分布列．

Answer 1

分析 从盒中任取3个，这3个可能全是红的，2个红的1个白的，1个红的2个白的或全是白的，所以用完放回盒中，盒中红球个数可能是3个，4个，5个，6个，即ξ可以取3，4，5，6．ξ取每个值的概率可由古典概型求得，列出分布列即可．

解答 解：ξ的所有可能取值为3，4，5，6．
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{220}$；
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{220}$；
P（ξ=5）=$\frac{{C}_{9}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{55}$；
P（ξ=6）=$\frac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{21}{55}$．
所以ξ的分布列为

ξ	3	4	5	6
P	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{21}{55}$

点评 本题考查排列组合、古典概型、离散型随机变量的分布列问题，解题的关键是正确地求出ξ取某个值时对应的事件的概率．