某企业有甲.乙两个研发小组.他们研发一件新产品成功的概率分别为$\frac{3}{4}$和$\frac{2}{3}$.本年度计划研发的新产品件数分别为2件和1件．设甲.乙两组的每次研发均相互独立．(1)求该企业本年度至少有一件新产品研发成功的概率,(2)已知研发一件新产品的成本为10百万元.成功研发一件新产品可获得50百万元的销售额.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发一件新产品成功的概率分别为$\frac{3}{4}$和$\frac{2}{3}$，本年度计划研发的新产品件数分别为2件和1件．设甲、乙两组的每次研发均相互独立．
（1）求该企业本年度至少有一件新产品研发成功的概率；
（2）已知研发一件新产品的成本为10百万元，成功研发一件新产品可获得50百万元的销售额，求该企业本年度在这3件新产品上获得的利润X的分布列和数学期望．

分析（1）首先设出至少有一种新产品研发成功为事件A，包含情况较多，所以要求该事件的概率，考虑求其对立事件，即没有一种新产品研发成功，根据独立试验同时发生的概率计算方法即可求的对立事件的概率，再利用互为对立事件概率之间的关系，即和为1，即可求的相应的概率．
（2）根据题意，研发新产品的结果分为四种情况，利用独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率，再根据题意算出此时的利润，即可得到关于利润的分布列，再利用概率与对应的利润成绩之和即可得到数学期望．

解答解：（1）记E={甲组研发新产品成功}，F={乙组研发新产品成功}．
由题设知P（E）=$\frac{3}{4}$，P（$\overline{E}$）=$\frac{1}{4}$，P（F）=$\frac{2}{3}$，P（$\overline{F}$）=$\frac{1}{3}$，
且事件E与F，E与$\overline{F}$，$\overline{E}$ 与F，$\overline{E}$与$\overline{F}$都相互独立．
记H={至少有一种新产品研发成功}，则$\overline{H}$=$\overline{E}$$\overline{E}\overline{F}$，
∴P（$\overline{H}$）=P（$\overrightarrow{E}$$\overline{E}\overline{F}$）=P（$\overline{E}$）P（$\overline{E}$）P（$\overline{F}$）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{48}$，
故该企业本年度至少有一件新产品研发成功的概率为：
P（H）=1-P（$\overline{H}$）=1-$\frac{1}{48}$=$\frac{47}{48}$．
（2）设企业可获利润为X （百万元），则X的可能取值为-30，30，90，150．
∵P（X=-30）=P（$\overline{E}$$\overline{E}\overline{F}$）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{48}$，
P（X=30）=P（E$\overline{E}\overline{F}$）+P（$\overline{E}E\overline{F}$）+P（$\overline{E}\overline{E}F$）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=90）=P（$\overline{E}EF$）+P（E$\overline{E}F$）+P（EE$\overline{F}$）=$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{7}{16}$，
P（X=150）=P（EEF）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{3}{8}$，
∴该企业本年度在这3件新产品上获得的利润X的分布列为：