Question

17．在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且椭圆C上的点到右焦点F的距离的最大值为2$\sqrt{2}$+2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F且不与x轴垂直或重合的直线l与椭圆C交于M、N两点，问：x轴上是否存在点P，使得∠OPM=∠OPN？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意知$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{a+c=2\sqrt{2}+2}\end{array}\right.$，从而解得；
（2）假设存在，从而可设直线l的方程为y=k（x-2），联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$化简可得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-8=0，从而可得x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$，易知M，N′，P三点共线，从而可得（x₁-x₀）y₂+（x₂-x₀）y₁=0，从而化简可得．

解答 解：（1）由题意知，
$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{a+c=2\sqrt{2}+2}\end{array}\right.$，
解得，a=2$\sqrt{2}$，c=2，b=2；
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）假设存在点P，使得∠OPM=∠OPN，由题意，
点F（2，0），设直线l的方程为y=k（x-2），
点N（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N′（x₁，-y₁），P（x₀，0）；
联立方程可得，
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
化简可得，
（2k²+1）x²-8k²x+8k²-8=0，
故x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$，
∵∠OPM=∠OPN，N与N′关于x轴对称，
∴M，N′，P三点共线，
∵$\overrightarrow{PM}$=（x₂-x₀，y₂），$\overrightarrow{PN′}$=（x₁-x₀，-y₁），
∴（x₁-x₀）y₂+（x₂-x₀）y₁=0，
即（x₁-x₀）k（x₂-2）+（x₂-x₀）k（x₁-2）=0，
即2x₁x₂-2（x₁+x₂）+[4-（x₁+x₂）]x₀=0，
即2$\frac{8{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$-2$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$+[4-$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$]x₀=0，
解得，x₀=4，
故点P的坐标为（4，0）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程的求法及数形结合的思想应用，同时考查了平面向量的应用．