Question

18．已知$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$=（cosθ，sinθ）（θ∈R）．则|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|的取值范围[3，7]．

Answer 1

分析 利用向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方，利用向量的数量积公式及三角函数的差角的余弦公式求出向量的模的取值范围．

解答 解：$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$=（cosθ，sinθ）（θ∈R），
∴$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=（3-2cosθ，4-2sinθ），
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|²=（3-2cosθ）²+（4-2sinθ）²=29-4（3cosθ+4sinθ）=-20sin（θ+φ）+29，其中tanφ=$\frac{3}{4}$，
∵-1≤sin（θ+φ）≤1，
∴9≤-20sin（θ+φ）+29≤49，
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|的取值范围为[3，7]，
故答案为：[3，7]．

点评 本题考查向量模的平方等于向量的平方、向量的数量积公式、三角函数的和差角公式．