题目内容
19．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为3ρcosθ+4ρsinθ-8=0，椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cos\frac{π}{3}cosφ}\\{y=2sin\frac{π}{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）．（1）求出直线l的直角坐标方程和C的普通方程；
（2）求C上的点到直线l的最短距离．
分析 （1）直线l的极坐标方程为3ρcosθ+4ρsinθ-8=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出；椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cos\frac{π}{3}cosφ}\\{y=2sin\frac{π}{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），即$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$，利用cos2φ+sin2φ=1即可化为普通方程．
（2）令x=cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ，则点P（cosθ，$\sqrt{3}$sinθ）到直线l的距离d=$\frac{|3cosθ+4\sqrt{3}sinθ-8|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-8|}{5}$，利用三角函数的单调性与值域即可得出．
解答 解：（1）直线l的极坐标方程为3ρcosθ+4ρsinθ-8=0，可得直角坐标方程为3x+4y-8=0；
椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cos\frac{π}{3}cosφ}\\{y=2sin\frac{π}{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），即$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$，化为$\frac{{y}^{2}}{3}+{x}^{2}$=1．
（2）令x=cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ，
则点P（cosθ，$\sqrt{3}$sinθ）到直线l的距离d=$\frac{|3cosθ+4\sqrt{3}sinθ-8|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-8|}{5}$≥$\frac{|5-8|}{5}$=$\frac{3}{5}$，当sin（θ+φ）=1时取得等号．
∴C上的点到直线l的最短距离是$\frac{3}{5}$．
点评 本题考查了极坐标化为直角坐标的方法、椭圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角 | |
| B． | 设空间向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$为非零向量，若$\overrightarrow a•\overrightarrow b＞0$，则$＜\overrightarrow a，\overrightarrow b＞$为锐角 | |
| C． | 方程mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）表示的曲线是椭圆 | |
| D． | 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于$\sqrt{2}$ |
| A． | $（{0，\frac{π}{6}}]$ | B． | $（{0，\frac{π}{3}}]$ | C． | $[{\frac{π}{6}，π}）$ | D． | $[{\frac{π}{3}，π}）$ |