Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤1}\\{lo{g}_{2}（x+1），x＞1}\end{array}\right.$且方程f²（x）-af（x）+$\frac{3}{2}$=0恰有四个不同实根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\sqrt{6}$）∪（$\sqrt{6}$，+∞）
• B． （$\sqrt{6}$，$\frac{5}{2}$）
• C． （2，4）
• D． （$\sqrt{6}$，$\frac{11}{4}$]

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤1}\\{lo{g}_{2}（x+1），x＞1}\end{array}\right.$的图象，从而化为x²-ax+$\frac{3}{2}$=0在（1，2]上有两个不同的根，从而解得．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤1}\\{lo{g}_{2}（x+1），x＞1}\end{array}\right.$的图象如下，

结合图象可知，
当1＜b≤2时，f（x）=b有两个不同的解，
故x²-ax+$\frac{3}{2}$=0在（1，2]上有两个不同的根，
故$\left\{\begin{array}{l}{1＜\frac{a}{2}＜2}\\{1-a+\frac{3}{2}＞0}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{3}{2}＜0}\\{4-2a+\frac{3}{2}≥0}\end{array}\right.$，
解得，$\sqrt{6}$＜a＜$\frac{5}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，同时考查了二次方程的根的个数的判断．