Question

7．设p：实数x满足x²-9x+14≤0；q：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 p：利用一元二次不等式的解法可得：2≤x≤7；q：由于a＞0，解得a＜x＜3a．
（1）若a=1，则q化为：1＜x＜3，由于p∧q为真求其交集即可得出；
（2）若q是p的充分不必要条件，则$\left\{\begin{array}{l}{2≤a}\\{3a≤7}\end{array}\right.$，且等号不能同时成立，解出即可得出．

解答 解：p：实数x满足x²-9x+14≤0，解得2≤x≤7；q：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．
（1）若a=1，则q化为：1＜x＜3，由于p∧q为真，∴$\left\{\begin{array}{l}{2≤x≤7}\\{1＜x＜3}\end{array}\right.$，解得2≤x＜3．
∴实数x的取值范围是[2，3）．
（2）若q是p的充分不必要条件，则$\left\{\begin{array}{l}{2≤a}\\{3a≤7}\end{array}\right.$，且等号不能同时成立，可得$2≤a≤\frac{7}{3}$．
∴实数a的取值范围是$[2，\frac{7}{3}]$．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．