Question

已知直线l：y=x+m，m∈R．
（1）若以点M（2，0）为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
（2）若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x²=4y是否相切？若相切，求出此时的m值；若不相切，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线与圆的位置关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用MP⊥l，求出m的值，求出圆的圆心与半径即可得到圆的标准方程．
（2）求出对称直线的方程与抛物线联立方程组，利用相切求解即可．

解答： 解：（1）依题意，点P的坐标为（0，m）．
因为MP⊥l，所以

0-m

2-0

×1=-1，
解得m=2，即点P的坐标为（0，2）从而圆的半径
r=|MP|=

(2-0)2+(0-2)2

=2

2

．
故所求圆的方程为（x-2）²+y²=8．
（2）因为直线l的方程为y=x+m
所以直线l′的方程为y=-x-m．
由

y=-x-m x2=4y

得x²+4x+4m=0．
△=4²-4×4m=16（1-m）．
①当m=1，即△=0时，直线l′与抛物线C相切；
②当m≠1，即△≠0时，直线l′与抛物线C不相切．
综上，当m=1时，直线l′与抛物线C相切，当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求法，以及对称知识的应用，考查分析问题解决问题的能力．