Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*）．
（Ⅰ）若数列{b_n}满足b_n=

1

an

+

1

2

，求证：{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）数列{c_n}满足c_n=（3_n-1）•

n

2n

•a_n，数列{c_n}的前n项和为T_n．是否存在正实数λ，使得不等式λ＜T_n+

n

2n-1

对一切n∈N^*恒成立，若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性,等比关系的确定

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由数列递推式求出b₁，然后结合a_n+1=

an

an+3

，b_n=

1

an

+

1

2

直接利用等比数列的定义进行证明；
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项公式后，结合b_n=

1

an

+

1

2

求解数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）由错位相减法求出数列{c_n}的前n项和T_n，代入λ＜T_n+

n

2n-1

后由函数的单调性求得正实数λ的取值范围．

解答： （Ⅰ）证明：∵a₁=1，a_n+1=

an

an+3

，b_n=

1

an

+

1

2

，
∴b1=

1

a1

+

1

2

=

3

2

，

bn+1

bn

=

1 an+1 + 1 2

1 an + 1 2

=

an+3 an + 1 2

1 an + 1 2

=3．
∴{b_n}是首项为

1

2

，公比为3的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，bn=

3

2

•3n-1=

1

2

•3n．
∴

1

an

+

1

2

=

1

2

•3n，
an=

2

3n-1

；
（Ⅲ）解：c_n=（3ⁿ-1）•

n

2n

•a_n=

n

2n-1

．
∴Tn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

．

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

．
作差得

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

．
∴Tn=4-

n+2

2n-1

．
G（n）=T_n+

n

2n-1

=4-

2

2n-1

单调递增（n∈N^*）．
∴当n=1时，G（n）取最小值2．
又λ∈R⁺，
∴λ∈（0，2）．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题．