题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），若椭圆短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形，求椭圆的方程．
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：根据椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，得到椭圆短轴的三分之一的值，由此列式可以得到椭圆的半短轴的长，结合a2=b2+c2可以得到a2的值，所以椭圆方程可求
解答： 解：∵椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，且c=1，
∴
2
3
3
=
1
3
×2b，解得b=
3
．
∴a2=b2+c2=4．
∴椭圆的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
点评：本题考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，比较基础．
练习册系列答案
相关题目
有关集合的性质：
（1）∁U（A∩B）=（∁UA）∪（∁UB）； 
（2）∁U（A∪B）=（∁UA）∩（∁UB）；
（3）A∪（∁UA）=U；     
（4）A∩（∁UA）=∅
其中正确的个数有（　　）个．
A、1B、2C、3D、4
若tan（α+
π
4
）=-
1
3
，则tanα的值等于（　　）
A、-3B、-1C、2D、-2
已知f是A到B的映射，A=B=R，f：x→y=2x-1，则B中元素3的原像是（　　）
A、2B、3C、4D、5
已知f（x）=
x2
1+x2
（x∈R）
①若a≠0，求证：f（a）+f（
1
a
）=1；
②求f（
1
2010
）+f（
1
2009
）+…+f（
1
2
）+f（1）+f（2）+…+f（2009）+f（2010）的值．
（1）已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示log512． 
（2）已知向量
a
，
b
，
c
两两所成的角相等，且|
a
|=1，|
b
|=2，|
c
|=3，求|
a
+
b
+
c
|．
已知△ABC的外接圆的半径R=
3
3
，|BC|=1，∠BAC为锐角，∠ABC=θ，记f（θ）=
AB
•
AC
，
（1）求∠BAC 的大小及f（θ）关于θ的表达式；
（2）求f（θ）的值域．
求二次函数f（x）=-x2+4ax-3在区间[-2，1]上的最大值．
已知点A是圆F1：（x+
3
）2+y2=16上任意一点，点F2与点F1关于原点对称．线段AF2的中垂线m分别与AF1AF2交于M、N两点．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

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