Question

已知点P是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面上一动点，且满足|PA|=2|PB|，设PD₁与平面ABCD所成角为θ，则θ的最大值为（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：先确定点P的轨迹，再利用正方体的几何性质解决．

解答： 解：以B为原点，BC，BA，BB₁，分别为x、y、z轴建立空间坐标系，设P（x，y，z），A（0，2，0），|PA|=2|PB|，∴

(x-0)2+(y-2)2+(z-0)2

=

x2+y2+z2

∴x2+(y+

2

3

)2+z2=

16

9

，∴点P的轨迹为：以点Q为球心，以半径为

4

3

的球与正方体表面的交线，即为如图的弧段EMG，GSF，FNE，
要使得PD₁与底面ABCD所成角最大，则PD₁与底面ABCD
的交点R与点D的距离最短，从而点P在弧段ENF上，故
点P在弧段ENF上，且在QD上．设正方体的边长为2，从而DQ=

10

3

-

4

3

=2，从而tanθ最大值为1，故θ最大值为

π

4

．
故选B

点评：本题考查了动点的轨迹，线面角的定义，考查空间想象能力，逻辑思维能力，属中档题．