题目内容

已知两个向量
AB
，
AC
的夹角为120°且
AB
•
AC
=-2，设两点B，C的中点为点D，则|
AD
|的最小值为
 
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,不等式的解法及应用,平面向量及应用
分析：运用向量的数量积的定义可得，bc=4，再由中点的向量表示，再两边平方，运用基本不等式即可得到最小值为1．
解答： 解：由于两个向量
AB
，
AC
的夹角为120°且
AB
•
AC
=-2，
设|
AB
|=c，|
AC
|=b，
则|
AB
|•|
AC
|•cos120°=-2，
即有bc=4，
由于两点B，C的中点为点D，
则
AD
=
1
2
(
AB
+
AC
)
即有
AD
2=
1
4
（c2+b2+2
AC
•
AB
）=
1
4
（c2+b2-4）
≥
1
4
（2bc-4）=
1
4
×（8-4）=1．
即有|
AD
|≥1．
当且仅当b=c=2取得最小值1．
点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质、中点的向量表示形式，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，求证四边形B1BCC1为正方形．
已知正项数列{an}，a1=
1
2
，且an+1=
2an
an+2
（*）
（1）求证：{
1
an
}是等差数列，并求{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足bn=e
1
an
，若
mb1b2…bm
（m∈N，m≥2），仍是{bn}中的项，求m在区间[2，2006]中的所有可能值之和S；
（3）若将上述递推关系（*）改为：an+1＜
2an
an+2
，且数列{nan}中任意项nan＜p，试求满足要求的实数p的取值范围．
已知等差数列{an}满足a4=6，a6=10．
（1）求数列{an}的通项公式an，前n项和Sn；
（2）设等比数列{bn}的各项均为正数，前n项和为Tn，若b3=a3，T2=3，求通项公式bn，前n项和Tn．
函数f（x）=ex（x-1）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是
 
．
已知实数x，y满足
x-2y+1≥0
|x|-y-1≤0
，则z=
2x+y+2
x
的取值范围为（　　）
A、[0，
10
3
]
B、（-∞，0]∪[
10
3
，+∞）
C、[2，
10
3
]
D、（-∞，2]∪[
10
3
，+∞）
已知向量
a
=(sinx，
3
2
)，
b
=(
1
2
，cosx)，f（x）=
a
•
b
．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调递增区间．
若x，y满足约束条件
0≤x≤2
0≤y≤2
x≤3y-2
，则z=2x-y的最小值为（　　）
A、2B、4C、-2D、-4
已知命题p：
x+1
x-1
＜0，命题q：（x-a）（x-3）＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（　　）
A、[1，3]
B、[1，3]
C、[1，+∞）
D、[3，+∞）

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