Question

7．如图，F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF₂与椭圆C的另一个交点，∠F₁AF₂=60°
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若a=2，求△AF₁B的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：△AF₁B为等边三角形，因此a=2c，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{2c}$=$\frac{1}{2}$，即可求得椭圆C的离心率；
（2）由题意题意可知：当a=2，则c=1，由b²=a²-c²=3，即可求得椭圆方程，由直线的斜率k=-tan∠AF₁F₂=-$\sqrt{3}$，即可求得直线方程，代入椭圆方程，即可求得B点坐标，由${S}_{A{F}_{1}B}$=${S}_{A{F}_{1}{F}_{2}}$+${S}_{B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨•丨AO丨+$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨•丨y_B丨，代入即可求得△AF₁B的面积．

解答 解：（1）由题意可知，△AF₁B为等边三角形，
∴a=2c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{2c}$=$\frac{1}{2}$，
椭圆C的离心率$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知：a=2c，a=2，c=1，则b²=a²-c²，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴A（0，$\sqrt{3}$），F₂（1，0），
∴直线AC的斜率k=-tan∠AF₁F₂=-$\sqrt{3}$，
∴直线AC的方程为y-0=-$\sqrt{3}$（x-1）=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=-\frac{3\sqrt{3}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$（舍）
∴点B的坐标为（$\frac{8}{5}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{5}$），
所以
${S}_{A{F}_{1}B}$=${S}_{A{F}_{1}{F}_{2}}$+${S}_{B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨•丨AO丨+$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨•丨y_B丨=$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$•2•$\frac{3\sqrt{3}}{5}$=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，
∴△AF₁B的面积$\frac{8\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．