已知函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx.且x=1是f(x)的极值点．的单调区间,(2)当实数m发生变化时.是否存在实数m.使得函数y=f的图象上任意一点的切线斜率总不小于3m?若存在.求出m的值,若不存在.请说明理由,=ln(x+1)+$\frac{mx}{x+2}$.若对于任意x1∈[2.3].总存在x0∈[0.1].使得f(x0)=g(x1)成立.求m的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx（m，n∈R且m＜0），且x=1是f（x）的极值点．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当实数m发生变化时，是否存在实数m，使得函数y=f（x）（-1≤x≤1）的图象上任意一点的切线斜率总不小于3m？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）设-2≤m＜0，函数g（x）=ln（x+1）+$\frac{mx}{x+2}$（2≤x≤3），若对于任意x₁∈[2，3]，总存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）=g（x₁）成立，求m的取值范围．

分析（1）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f′（1）=0求出m与n的关系式，令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；
（2）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x-1）[x-（1+$\frac{2}{m}$）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t-$\frac{1}{t}$，求出g（t）的最小值．要使$\frac{2}{m}$≤（x-1）-$\frac{1}{x-1}$恒成立即要g（t）的最小值≥$\frac{2}{m}$，解出不等式的解集求出m的范围；
（3）分别求出f（x）在[0，1]的值域S，g（x）在[2，3]的值域T，得到，T⊆S，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答解：（1）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n．
因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f′（1）=0，
即3m-6（m+1）+n=0．
所以n=3m+6．
∴f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+$\frac{2}{m}$）]
当m＜0时，有1＞1+$\frac{2}{m}$，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：

x	（-∞，1+$\frac{2}{m}$）	1+$\frac{2}{m}$	（1+$\frac{2}{m}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

由上表知，当m＜0时，f（x）在（-∞，1+$\frac{2}{m}$）单调递减，在（1+$\frac{2}{m}$，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
（2）由已知，得f′（x）≥3m，即3m（x-1）[x-（1+$\frac{2}{m}$）]≥3m，
∵m＜0．∴（x-1）[x-1（1+$\frac{2}{m}$）]≤1．（*）
①x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．
∴m＜0．
②x≠1时∵x∈[-1，1]，∴-2≤x-1＜0．
（*）式化为$\frac{2}{m}$≤（x-1）-$\frac{1}{x-1}$．
令t=x-1，则t∈[-2，0），记g（t）=t-$\frac{1}{t}$，
则g（t）在区间[-2，0）是单调增函数．∴g（t）_min=g（-2）=-2-$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$．
由（*）式恒成立，必有$\frac{2}{m}$≤-$\frac{3}{2}$⇒-$\frac{4}{3}$≤m，又m＜0．∴-$\frac{4}{3}$≤m＜0．
综上，可知-$\frac{4}{3}$≤m＜0；
（3）由（1）得：1+$\frac{2}{m}$＜0，则f（x）在[0，1]递增，
∴f（x）_max=f（1）=m+3，f（x）_min=f（0）=0，
而g′（x）=$\frac{{x}^{2}+2（m+2）x+2（m+2）}{（x+1{）（x+2）}^{2}}$＞0，
∴g（x）在[2，3]递增，
∴g（x）_max=g（3）=ln4+$\frac{3}{5}$m，g（x）_min=g（2）=ln3+$\frac{m}{2}$，
若对于任意x₁∈[2，3]，总存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）=g（x₁）成立，
只需$\left\{\begin{array}{l}{ln3+\frac{m}{2}≥0}\\{ln4+\frac{3}{5}m≤m+3}\end{array}\right.$，解得：m≥5ln2-$\frac{15}{2}$．
综上，m∈[5ln2-$\frac{15}{2}$，0）．

点评考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．

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