题目内容

14．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值．

分析 （I）利用cos2α+sin2α=1消参数得到C1的普通方程，将极坐标方程左侧展开即可得到直角坐标方程；
（II）利用C1的参数方程求出P到C2的距离，根据三角函数的性质求出距离的最小值．

解答 解：（I）由$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.$得cosα=$\frac{x}{\sqrt{3}}$，sinα=y．∴曲线C1的普通方程是$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
∵$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=4\sqrt{2}$，∴ρsinθ+ρcosθ=8．即x+y-8=0．∴曲线C2的直角坐标方程时x+y-8=0．
（II）设P点坐标（$\sqrt{3}cosα$，sinα），∴P到直线C2的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-8|}{\sqrt{2}}$，
∴当sin（α+$\frac{π}{3}$）=1时，d取得最小值$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程下距离公式的最值，属于基础题．

练习册系列答案
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