Question

a，b为实数，不等式|ax+2|≥|2x+b|的解集为R的充要条件为

 

．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：计算题,不等式的解法及应用,简易逻辑

分析：不等式|ax+2|≥|2x+b|等价于|ax+2|²≥|2x+b|²，化简可得（a²-4）x²+4（a-b）x+（4-b²）≥0，
不等式|ax+2|≥|2x+b|的解集为R可化为（a²-4）x²+4（a-b）x+（4-b²）≥0恒成立；则可得a²-4＞0且△=16（a-b）²-4（a²-4）（4-b²）≤0．

解答： 解：∵|ax+2|≥|2x+b|，
∴|ax+2|²≥|2x+b|²，
∴a²x²+4ax+4≥4x²+4bx+b²，
∴（a²-4）x²+4（a-b）x+（4-b²）≥0．
∴a²-4＞0且△=16（a-b）²-4（a²-4）（4-b²）≤0．
∴|a|＞2且ab=4．
故答案为：|a|＞2且ab=4．

点评：本题考查了绝对值不等式的处理方法及充要条件的求法，属于中档题．