题目内容
4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金$\frac{1}{2}$，第2关收税金为剩余金的$\frac{1}{3}$，第3关收税金为剩余金的$\frac{1}{4}$，第4关收税金为剩余金的$\frac{1}{5}$，第5关收税金为剩余金的$\frac{1}{6}$，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为$\frac{1}{72}$x．分析 第1关收税金：$\frac{1}{2}$x；第2关收税金：$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$）x=$\frac{1}{2×3}$x；第3关收税金：$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$）x=$\frac{1}{3×4}$x；…，可得第8关收税金．
解答 解：第1关收税金：$\frac{1}{2}$x；第2关收税金：$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$）x=$\frac{1}{2×3}$x；第3关收税金：$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$）x=$\frac{1}{3×4}$x；
…，可得第8关收税金：$\frac{1}{8×9}$x，即$\frac{1}{72}$x．
故答案为：$\frac{1}{72}$．
点评 本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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15．已知集合A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|1＜2x≤4，x∈N}，则A∩B=（ （ ）
| A． | ∅ | B． | （1，2] | C． | {2} | D． | {1，2} |
12．cos10°sin70°-cos80°sin20°=（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C． | -$\frac{1}{2}$ | D． | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ |