题目内容

16．设|θ|＜$\frac{π}{2}$，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin$\frac{nπ}{2}$tannθ，其前n项和为Sn
（1）求证：当n为偶函数时，an=0；当n为奇函数时，an=（-1）${\;}^{\frac{n-1}{2}}$tannθ；
（2）求证：对任何正整数n，S2n=$\frac{1}{2}$sin2θ•[1+（-1）n+1tan2nθ]．

分析 （1）利用sin$\frac{nπ}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{0，n为偶数}\\{（-1）^{\frac{n-1}{2}}，n为奇数}\end{array}\right.$，即可得出．
（2）a2k-1+a2k=（-1）${\;}^{\frac{n-1}{2}}$tannθ．利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 证明：（1）an=sin$\frac{nπ}{2}$tannθ，
当n=2k（k∈N*）为偶数时，an=sinkπ•tannθ=0；
当n=2k-1为奇函数时，an=$sin\frac{2k-1}{2}π$•tannθ=（-1）k-1tannθ=（-1）${\;}^{\frac{n-1}{2}}$tannθ．
（2）a2k-1+a2k=（-1）${\;}^{\frac{n-1}{2}}$tannθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为-tan2θ．
∴S2n=$\frac{tanθ[1-（-1）^{n}ta{n}^{2n}θ]}{1-（-ta{n}^{2}θ）}$=$\frac{1}{2}$sin2θ•[1+（-1）n+1tan2nθ]．

点评 本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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