Question

16．某企业2015年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2016年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2016年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元．
（1）设从2016年起的第n年（以2016年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为a_n万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为b_n万元，求a_n和b_n；
（2）设从2016年起的第n年（以2016年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为A_n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B_n万元，求A_n和B_n；
（3）依上述预测，从2016年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润？

Answer 1

分析 （1）利用等差数列、等比数列的通项公式，求a_n和b_n；
（2）根据从2016年起每年比上一年纯利润减少20万元，可得A_n的表达式；根据2016年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（2016年为第1年）的利润为500（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）万元，可得B_n的表达式；
（3）作差，利用函数的单调性，即可得到结论．

解答 解：（1）不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元，组成等差数列，a_n=500-20n；在未扣除技术改造资金的情况下，预计2016年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元，则b_n=500（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）；
（2）依题设，A_n=（500-20）+（500-40）+…+（500-20n）=490n-10n²；
B_n=500[（1+$\frac{1}{2}$）+（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）+…+（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）]-600=500n-$\frac{500}{{2}^{n}}$-100．
（3）B_n-A_n=（500n-$\frac{500}{{2}^{n}}$-100）-（490n-10n²）
=10n²+10n-$\frac{500}{{2}^{n}}$-100=10[n（n+1）-$\frac{50}{{2}^{n}}$-10]．
因为函数y=x（x+1）-$\frac{50}{{2}^{n}}$-10在（$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数，
当1≤n≤3时，n（n+1）-$\frac{50}{{2}^{n}}$-10≤12-$\frac{50}{8}$-10＜0；
当n≥4时，n（n+1）-$\frac{50}{{2}^{n}}$-10≥20-$\frac{50}{16}$-10＞0．
∴仅当n≥4时，B_n＞A_n．
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．

点评 本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力．