Question

2．下列4个命题：
①“若a、G、b成等比数列，则G²=ab”的逆命题；
②“如果x²+x-6≥0，则x＞2”的否命题；
③在△ABC中，“若A＞B”则“sinA＞sinB”的逆否命题；
④当0≤α≤π时，若8x²-（8sinα）x+cos2α≥0对?x∈R恒成立，则α的取值范围是0≤α≤$\frac{π}{6}$．
其中真命题的序号是②③．

Answer 1

分析 由a=G=b=0，则a、G、b不成等比数列，即可判断①；
写出命题的否命题，由二次不等式的解法，即可判断②；
运用三角形的边角关系和正弦定理，即可判断③；
由二次不等式恒成立可得判别式不大于0，解不等式，结合二倍角公式和余弦函数的图象，即可判断④．

解答 解：①“若a、G、b成等比数列，则G²=ab”的逆命题为“若G²=ab，则a、G、b成等比数列”，
不正确，比如a=G=b=0，则a、G、b不成等比数列，故①错；
②“如果x²+x-6≥0，则x＞2”的否命题为“②“如果x²+x-6＜0，则x≤2”的否命题”，
由x²+x-6＜0，可得-3＜x＜2，推得x≤2，故②对；
③在△ABC中，“若A＞B”?“a＞b”?“2RsinA＞2RsinB”?“sinA＞sinB”（R为外接圆的半径）
则其逆否命题正确，故③对；
④当0≤α≤π时，若8x²-（8sinα）x+cos2α≥0对?x∈R恒成立，即有△=64sin²α-32cos2α≤0，
即有1-2cos2α≤0，即为cos2α≥$\frac{1}{2}$，可得0≤2α≤$\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{3}$≤2α≤2π，
解得0≤α≤$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$≤α≤π，故④错．
故答案为：②③．

点评 本题考查命题的真假判断，主要考查等比数列中项的定义和性质，四种命题的判断和二次不等式恒成立问题的解法，考查判断和推理能力，属于中档题和易错题．