题目内容

13．已知正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD的各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形的各边中点又得到一个新的正方形，按此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示，现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个新正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段，则这10条线段的长度的和是（　　）
A．$\frac{31}{128}（2+\sqrt{2}）a$B．$\frac{31}{64}（2+\sqrt{2}）a$C．$（1+\frac{{\sqrt{2}}}{32}）a$D．$（1-\frac{{\sqrt{2}}}{32}）a$

分析 由题意可得：所有正方形的边长从大到小形成等比数列：a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$a，…，利用求和公式即可得出：小虫爬行了10条线段的长度的和．

解答 解：由题意可得：所有正方形的边长从大到小形成等比数列：a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$a，…，
∴小虫爬行了10条线段的长度的和=$\frac{1}{2}×\frac{a×[1-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{10}]}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{31}{64}$×$（2+\sqrt{2}）$a．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式与求和公式、正方形的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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