Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R）
（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；
（2）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）求出导数，结合已知条件求出f′（1）=0，即可求出a的值；
（2）由切点求出f（1）=2，即${a}^{2}-a+b-\frac{8}{3}=0$，由切线方程的斜率为-1，得f′（1）=-1，即a²-2a+1=0，可求出a，b的值，代入已知函数求导，可得x=0和x=2是y=f（x）的两个极值点，计算即可得到y=f（x）在区间[-2，4]上的最大值为与最小值．

解答 解：（1）∵f′（x）=x²-2ax+（a²-1），
又x=1为f（x）的极值点，∴f′（1）=0，即a²-2a=0．
∴a=0或2；
（2）∵（1，f（1））是切点，∴1+f（1）-3=0．∴f（1）=2．
即${a}^{2}-a+b-\frac{8}{3}=0$．
∵切线方程x+y-3=0的斜率为-1，
∴f′（1）=-1，即a²-2a+1=0，
得a=1，$b=\frac{8}{3}$．
∵$f（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}+\frac{8}{3}$，
∴f′（x）=x²-2x，可知x=0和x=2是y=f（x）的两个极值点．
∵$f（0）=\frac{8}{3}$，$f（2）=\frac{4}{3}$，f（-2）=-4，f（4）=8．
∴y=f（x）在区间[-2，4]，上的最大值为8．最小值为-4．

点评 本题考查导数的综合应用：求切线方程和求极值，考查运算能力，属于中档题．