题目内容

若抛物线y2=4x的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆与轴的上半轴交于点B2，与轴的右半轴交于点A2，椭圆的左、右焦点为F1、F2，且3|
F1B2
|cos∠B2F1F2=
3
|
OB2
|
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点D（0，2）的直线，斜率为k（k＞0），与椭圆交于M，N两点．
（i）若M，N的中点为H，且存在非零实数，使得
OH
=λ
A2B2
，求出斜率k的值；
（ii）在轴上是否存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形？若存在求出m的范围，若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知条件得椭圆的焦点F1（-1，0），F2（1，0）．b=
3
c=
3
，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）由题意设直线的方程为y=kx+2，k＞0，它与椭圆交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，由
y=kx+2，k＞0
x2
4
+
y2
3
=1
，得（4k2+3）x2+16kx+4=0，由此利用根的判别式、中点坐标公式、韦达定理，结合已知条件能求出斜率k的值．
（3）设在轴上存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形由kHQ•kMN=-1，得m=-
2k
4k2+3
=-
2
4k+
3
k
≥-
3
6
，由此能求出m的范围．
解答： 解：（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），
∴椭圆的焦点F1（-1，0），F2（1，0）．
设短半轴长b，长半轴长a，
∵|
F2B2
|cos∠B2F1F2=
3
3
|
OB2
|，
∴b=
3
c=
3
，a=2，
∴椭圆的标准方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）由题意设直线的方程为y=kx+2，k＞0，
它与椭圆交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，
由
y=kx+2，k＞0
x2
4
+
y2
3
=1
，得（4k2+3）x2+16kx+4=0，
△=12k2-3＞0，由k＞0，解得k＞
1
2
，
x1+x2=
-16k
4k2+3
，x1x2=
4
4k2+3
，
MN的中点H（
-8k
4k2+3
，
6
4k2+3
），
又
OH
∥
A2B2
，
kOH=
6
4k2+3
-8k
4k2+3
=kA1B1=
3
-0
0-2
=-
3
2
，
解得k=
3
2
＞
1
2
，∴k=
3
2
．
（3）设在轴上存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形，
则HQ⊥MN，kHQ•kMN=-1，
6
4k2+3
-0
-8k
4k2+3
-m
•k=-1，
∵k＞
1
2
，∴m=-
2k
4k2+3
=-
2
4k+
3
k
≥-
2
2
4k•
3
k
=-
3
6
，
当且仅当4k=
3
k
，k＞
1
2
，即k=
3
2
时，取等号，
又m=-
2k
4k2+3
＜0，
故在轴上存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形，
m的范围是[-
3
6
，0）．
点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查斜率k的值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
抛物线y2=
1
4
x的焦点坐标是（　　）
A、（1，0）
B、（
1
16
，0）
C、（0，1）
D、（0，
1
16
）
如图1所示，在四棱锥A-BHCD中，AH⊥面BHCD，此棱锥的三视图如图2：

（1）求二面角B-AC-D的余弦值；
（2）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成45°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．
如图，已知平行四边形ABCD中，AD=2，CD=
2
，∠ABC=45°，AE⊥BC，垂足为E，沿直线AE将△BAE翻拆成△B1AE，使得平面B1AE⊥平面AECD，连接B1D，P是线段B1D上的点，且满足
B1P
=λ
B1D
．
（Ⅰ）λ=
1
2
时，求证CP⊥平面AB1D；
（Ⅱ）若平面AB1E与平面PAC所成的二面角的余弦值为
11
11
，求AP与平面AB1E所成角的余弦值．
某青少年研究中心为了统计某市青少年（18岁以下）2014年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向，随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况，得到如下数据统计表：
压岁钱（单位：千元）频数频率
（0，0.5]30.05
（0.5，1]xp
（1，1.5]90.15
（1.5，2]150.25
（2，2.5]180.30
（2.5，3]yq
合计601.00
已知“超过2千元的青少年”与“不超过2千元的青少年”人数比恰好为2：3．
（Ⅰ）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）．
（Ⅱ）该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向，从“超过2千元的青少年”、“不超过2千元的青少年”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设为选取的3人中“超过2千元的青少年”的人数，求的分布列和数学期望．
（Ⅲ）若以频率估计概率，从该市青少年中随机抽取15人进行座谈，若15人中“超过2千元的青少年”的人数为η，求η的期望．
某水库进入汛期后的水位升高量h（n）（单位：标高）与进入讯期的天数n的关系是h（n）=20
5m2+6n
，汛期共计40天，刚进入汛期时水库水位为220（标高），而水库警戒线水位是400（标高），水库共有水闸15个，每开启一个泄洪，一天可使水库的水位下降4（标高）．
（1）若不开启水闸泄洪，这个汛期水库是否有危险？若有危险，将发生在第几天？
（2）若要保证水库安全，则在进入讯期的第一天起每天开启p个水闸泄洪，求p的最小值．
（参考数据：2.272≈5.15，2.312≈5.34）
已知函数f（x）=
1-sin2x
cosx

（1）求f（x）的定义域、f（
π
6
）的值；
（2）设α是第二象限的角，且tanα=-
4
3
，求f（α）的值．
已知正方形ABCD的边长为1，若点E是AB边上的动点，则
DE
•
DC
的最大值为
 
．
设函数f（x）=x-
a
2
lnx，其中a≠0．
（Ⅰ）若f（x）在区间（m，1-2m）上单调递增，求m的取值范围；
（Ⅱ）求证：e2(
π
-
e
)＞(
π
e
)
e
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网