题目内容
若抛物线y2=4x的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆与轴的上半轴交于点B2，与轴的右半轴交于点A2，椭圆的左、右焦点为F1、F2，且3|
|cos∠B2F1F2=
|
|
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点D（0，2）的直线，斜率为k（k＞0），与椭圆交于M，N两点．
（i）若M，N的中点为H，且存在非零实数，使得
=λ
，求出斜率k的值；
（ii）在轴上是否存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形？若存在求出m的范围，若不存在，请说明理由．
| F1B2 |
| 3 |
| OB2 |
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点D（0，2）的直线，斜率为k（k＞0），与椭圆交于M，N两点．
（i）若M，N的中点为H，且存在非零实数，使得
| OH |
| A2B2 |
（ii）在轴上是否存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形？若存在求出m的范围，若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知条件得椭圆的焦点F1（-1，0），F2（1，0）．b=
c=
，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）由题意设直线的方程为y=kx+2，k＞0，它与椭圆交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，由
，得（4k2+3）x2+16kx+4=0，由此利用根的判别式、中点坐标公式、韦达定理，结合已知条件能求出斜率k的值．
（3）设在轴上存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形由kHQ•kMN=-1，得m=-
=-
≥-
，由此能求出m的范围．
| 3 |
| 3 |
（2）由题意设直线的方程为y=kx+2，k＞0，它与椭圆交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，由
|
（3）设在轴上存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形由kHQ•kMN=-1，得m=-
| 2k |
| 4k2+3 |
| 2 | ||
4k+
|
| ||
| 6 |
解答：
解：（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），
∴椭圆的焦点F1（-1，0），F2（1，0）．
设短半轴长b，长半轴长a，
∵|
|cos∠B2F1F2=
|
|，
∴b=
c=
，a=2，
∴椭圆的标准方程为
+
=1．
（2）由题意设直线的方程为y=kx+2，k＞0，
它与椭圆交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，
由
，得（4k2+3）x2+16kx+4=0，
△=12k2-3＞0，由k＞0，解得k＞
，
x1+x2=
，x1x2=
，
MN的中点H（
，
），
又
∥
，
kOH=
=kA1B1=
=-
，
解得k=
＞
，∴k=
．
（3）设在轴上存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形，
则HQ⊥MN，kHQ•kMN=-1，
•k=-1，
∵k＞
，∴m=-
=-
≥-
=-
，
当且仅当4k=
，k＞
，即k=
时，取等号，
又m=-
＜0，
故在轴上存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形，
m的范围是[-
，0）．
∴椭圆的焦点F1（-1，0），F2（1，0）．
设短半轴长b，长半轴长a，
∵|
| F2B2 |
| ||
| 3 |
| OB2 |
∴b=
| 3 |
| 3 |
∴椭圆的标准方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）由题意设直线的方程为y=kx+2，k＞0，
它与椭圆交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，
由
|
△=12k2-3＞0，由k＞0，解得k＞
| 1 |
| 2 |
x1+x2=
| -16k |
| 4k2+3 |
| 4 |
| 4k2+3 |
MN的中点H（
| -8k |
| 4k2+3 |
| 6 |
| 4k2+3 |
又
| OH |
| A2B2 |
kOH=
| ||
|
| ||
| 0-2 |
| ||
| 2 |
解得k=
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（3）设在轴上存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形，
则HQ⊥MN，kHQ•kMN=-1，
| ||
|
∵k＞
| 1 |
| 2 |
| 2k |
| 4k2+3 |
| 2 | ||
4k+
|
| 2 | ||||
2
|
| ||
| 6 |
当且仅当4k=
| 3 |
| k |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
又m=-
| 2k |
| 4k2+3 |
故在轴上存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形，
m的范围是[-
| ||
| 6 |
点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查斜率k的值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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抛物线y2=
x的焦点坐标是（ ）
| 1 |
| 4 |
| A、（1，0） | ||
B、（
| ||
| C、（0，1） | ||
D、（0，
|
某青少年研究中心为了统计某市青少年（18岁以下）2014年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向，随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况，得到如下数据统计表：