Question

如图1所示，在四棱锥A-BHCD中，AH⊥面BHCD，此棱锥的三视图如图2：

（1）求二面角B-AC-D的余弦值；
（2）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成45°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由AH⊥面BHCD及三视图知：AH=BH=HC=1，取AC的中点M，过M作MN∥CD交AD于N，则∠BMN是所求二面角的平面角，由此能求出二面角B-AC-D的余弦值．
（2）假设在线段AC上存在点E合题意，令E在HC上的射影为F，设EF=x，则

x

1+x2

=1，矛盾．从而在线段AC上不存在一点E，使ED与面BCD成45°角．

解答： 解：（1）由AH⊥面BHCD及三视图知：AH=BH=HC=1，
AB=BC=AC=

2

，AD=

3

，
取AC的中点M，过M作MN∥CD交AD于N，
则∠BMN是所求二面角的平面角，
BM=

6

2

，MN=

1

2

，BN=

1

2

AD=

3

2

…
cos∠BMN=

6

3

，
∴二面角B-AC-D的余弦值为

6

3

．
（2）假设在线段AC上存在点E合题意，
令E在HC上的射影为F，设EF=x（x∈[0，1]），
则

x

1+x2

=1，矛盾．
∴在线段AC上不存在一点E，使ED与面BCD成45°角．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．