Question

已知曲线C₁：

x2

4

+

y2

4λ

=1和曲线C₂：

x2

4λ

+

y2

4λ2

=1（0＜λ＜1）．曲线C₂的左顶点恰为曲线C₁的左焦点．
（1）求λ的值；
（2）设P（x₀，y₀）为曲线C₂上一点，过点P作直线交曲线C₁于A，C两点，直线OP交曲线C₁于B，D两点，若P为AC中点．
①求证：直线AC的方程为x₀x+2y₀y=2；
②四边形ABCD的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用曲线C₂的左顶点恰为曲线C₁的左焦点，可得

4λ

=

4-4λ

，从而可求λ的值；
（2）①先求出AC的斜率，可得AC的方程，从而可得结论；
②AC的方程与椭圆方程联立，求出|AC|，再求出B，D到直线AC的距离，即可得出结论．

解答： （1）解：∵曲线C₂的左顶点恰为曲线C₁的左焦点，
∴

4λ

=

4-4λ

，
∴λ=

1

2

；
（2）①证明：由题意，B（

2

x₀，

2

y₀），D（-

2

x₀，-

2

y₀），
∴k_OP•k_AC=-

4λ

4

=-

1

2

，
∴k_AC=-

x0

2y0

，
∴AC的方程为y-y₀=-

x0

2y0

（x-x₀），即x₀x+2y₀y=2，
y₀=0时，x₀=±

2

满足x₀x+2y₀y=2；
②解：AC的方程与椭圆方程联立，可得(1+

x02

2y02

)x2-

2x0

y02

x+

2

y02

-4=0，即2x2-4x0x+4-8y2=0，
∴|AC|=

1+ x02 4y02

|xA-xC|=

1+ x02 4y02

8y02

，
B，D到直线AC的距离d1=

2 2 -2

x02+4y02

，d₂=

2 2 +2

x02+4y02

∴S=

1

2

|AC|（d₁+d₂）=

1

2

1+ x02 4y02

8y02

•（

2 2 -2

x02+4y02

+

2 2 +2

x02+4y02

）=4
当y₀=0时，ABCD的面积也为4，
∴四边形ABCD的面积为定值4．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．