“开门大吉是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门.依次按响门上的门铃.门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎).选手需正确回答出这首歌的名字.方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后.选手可自由选择带着奖金离开比赛.还可继续挑战后面的门以获得更多奖金.但是一旦回答错误.奖金将清零.选手也会离开比赛．在一次场外调� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．
每扇门对应的梦想基金：（单位：元）

第一扇门	第二扇门	第三扇门	第四扇门
1000	2000	3000	5000

（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）

P（K²≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为

4

5

，

3

4

，

2

3

，

1

3

，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是

1

2

，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

其中n=a+b+c+d）

考点：独立性检验的应用,频率分布直方图,离散型随机变量的期望与方差

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，根据列联表中所给的数据，代入求观测值的公式，求出这组数据的观测值，把观测值同临界值表中的临界值进行比较，得到结论；
（Ⅱ）确定ξ的所有能取值，求出相应的概率，即可求出ξ的分布列及数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，

	正确	错误	合计
20～30（岁）	10	30	40
30～40（岁）	10	70	80
合计	20	100	120

…（2分）
根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k²=

120×(10×70-10×30)2

20×100×40×80

=3
∵3＞2.706…（3分）
∴有1-0.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…（4分）
（Ⅱ）ξ的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000
则P(ξ=1000)=

4

5

×

1

2

=

2

5

…（5分）
P(ξ=3000)=

4

5

×

1

2

×

3

4

×

1

2

=

3

20

…（6分）
P(ξ=6000)=

4

5

×

1

2

×

3

4

×

1

2

×

2

3

×

1

2

=

1

20

…（7分）
P(ξ=11000)=

4

5

×

1

2

×

3

4

×

1

2

×

2

3

×

1

2

×

1

3

=

1

60

…（8分）
P(ξ=0)=1-

2

5

-

3

20

-

1

20

-

1

60

=

23

60

…（9分）
ξ的分布列为

ξ

0

1000

3000

6000

11000

P

23

60

2

5

3

20

1

20

1

60

…（10分）
ξ数学期望E(ξ)=0×

23

60

+1000×

2

5

+3000×

3

20

+6000×

1

20

+11000×

1

60

=1333.33…（12分）

点评：本题考查独立性检验的应用，考查分布列及数学期望．本题解题的关键是学会读图和画图，在所给的二维条形图中能够看出所需要的数据．

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