Question

19．数列{a_n}的通项公式为a_n=a^n-1+lg2ⁿ（a＞0），则此数列的前n项和为$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lg2}{2}{n}^{2}+n（1+\frac{1}{2}lg2），a=1}\\{\frac{1-{a}^{n}}{1-a}+\frac{n（n-1）}{2}lg2，a＞0且a≠1}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 对a分类讨论，再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：a_n=a^n-1+lg2ⁿ=a^n-1+nlg2，
设则此数列的前n项和为S_n．
当a=1时，a_n=1+nlg2，
∴S_n=（1+lg2）n+$\frac{n（n-1）}{2}×lg2$=$\frac{lg2}{2}$n²+n（1+$\frac{1}{2}$lg2）．
当a＞0，且a≠1时，S_n=$\frac{1-{a}^{n}}{1-a}$+$\frac{n（n+1）}{2}$lg2．
综上可得：S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lg2}{2}{n}^{2}+n（1+\frac{1}{2}lg2），a=1}\\{\frac{1-{a}^{n}}{1-a}+\frac{n（n-1）}{2}lg2，a＞0且a≠1}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lg2}{2}{n}^{2}+n（1+\frac{1}{2}lg2），a=1}\\{\frac{1-{a}^{n}}{1-a}+\frac{n（n-1）}{2}lg2，a＞0且a≠1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．