Question

11．已知命题p：曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{k}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2k+8}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（k-1）x²+（k-5）y²=1表示双曲线，若p或q为真，p且q为假，求k的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题p、命题q为真时k的取值范围，再利用p、q一真一假求解k的取值范围．

解答 解：∵命题p：曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{k}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2k+8}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴k²＞2k+8＞0，
解得k＞4或-4＜k＜-2．
∵命题q：（k-1）x²+（k-5）y²=1表示双曲线．
∴（k-1）（k-5）＜0，
解得，1＜k＜5
∵命题p或q为真命题，命题p且q为假命题
∴p、q必然一真一假．
①当p真q假时，则$\left\{\begin{array}{l}{k＞4或-4＜k＜-2}\\{k≤1或k≥5}\end{array}\right.$，解得k≥5或-4＜k＜-2；
②当p假q真时，则$\left\{\begin{array}{l}{k≤-4或-2≤k≤4}\\{1＜k＜5}\end{array}\right.$，解得1＜k≤4；
综上所述，实数a的取值范围为（-4，-2）∪（1，4]∪[5，+∞）．

点评 本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．