Question

下列函数中，与函数y=x³的奇偶性、单调性均相同的是（　　）

• A、y=e^x
• B、y=2^x-

  1

  2x

• C、y=ln|x|
• D、y=tanx

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：先证明函数y=x³为R上奇函数、增函数，再逐一判断4个函数的奇偶性和单调性即可．

解答： 解：函数y=x³是R上增函数，函数f（x）为奇函数证明如下：
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
f（x1）-f（x2）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x22+x1x2）=

1

2

（x1-x2）[（x1+x2）2+x12+x22]；
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁，x₂不全为0，（x1+x2）2+x12+x22＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）=x³是R上的增函数．
又∵f（-x）=（-x）³=-x³=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数
A，-f（x）=-e^x，而f（-x）=e^-x=

1

ex

，故不是奇函数，不相同．
B，f（-x）=2-x-

1

2-x

=-（2^x-

1

2x

）=-f（x）故为奇函数，
在R上任取x₁＜x₂有，又∵y=2^x是R上的增函数，x₁＜x₂，故有2x2＞2x1，

1

2x1

＞

1

2x2

，
故有，2x2-

1

2x2

-（2x1-

1

2x1

）=2x2-2x1+

1

2x1

-

1

2x2

＞0
即f（x）在R上是增函数，故相同．
C，f（-x）=ln|-x|=ln|x|=f（x），故为偶函数，不相同．
D，f（-x）=tan（-x）=-tanx=-f（x），为奇函数，但是由y=tanx的图象可知，在R上不是增函数，不相同．
综上所述，与函数y=x³的奇偶性、单调性均相同的是B．
故选：B．

点评：本题主要考察函数奇偶性的判断和函数单调性的判断与证明，属于中档题．