Question

9．直角三角形ABC中，A=90°，B=60°，B，C为双曲线E的两个焦点，点A在双曲线E上，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}+1$
• B． $\sqrt{2}+1$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据直角三角形的边角关系，以及双曲线的定义和性质，建立方程关系求出a，c的关系进行求解即可．

解答 解：不妨设双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），
设A在双曲线右支上，
∵A=90°，B=60°，
∴C=30°，
则BC=2c，则AB=$\frac{1}{2}$BC=c，
则AC=$\sqrt{3}$c，
∵AC-AB=2a，
∴$\sqrt{3}$c-c=2a，即（$\sqrt{3}$-1）c=2a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{2（\sqrt{3}+1）}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{2（\sqrt{3}+1）}{2}$=$\sqrt{3}+1$，
故选：A

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的性质，结合三角形的边角关系建立方程关系是解决本题的关键．