Question

14．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+c（c为常数，n∈N^*），且a₁，a₂，a₅是公比不等于1的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）令${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，设数列{b_n}的前n项和S_n，求证：${S_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）确定a₂=1+c，a₅=1+4c，利用a₁，a₂，a₅成等比数列，求c的值，即可写出数列{a_n}的通项公式；
（2）根据{b_n}${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=2（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），采用裂项法求前n项和S_n=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）$＜$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+c，a=1，c为常数，
∴a_n=1+（n-1）c．∴a₂=1=c，a₅=1+4c又a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴（1+c）²=1+4c，解得c=0或c=2当c=0时，a_n+1=a_n不合题意，舍去．
∴c=2∴a_n=2n-1，
（2）a_n=2n-1，
∴${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
∴${S_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）}]$，
=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）$，n∈N^*，
∴${S_n}＜\frac{1}{2}$．

点评 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求出，会确定一个数列为等比数列，考查数列递推式的求解及相关计算，是一道综合题．