设动点M到坐标原点O的距离和它到直线的l:x=-m距离之比是一个常数λ.记点的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程.并讨论C的形状与λ值的关系,(2)若λ=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.m=1时.得到的曲线为C1.将曲线C1向左平移一个单位得到曲线E.过点P的直线l1与曲线E交于不同的两点A(x1.y1).B(x2.y2).过F(1.0)的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．设动点M到坐标原点O的距离和它到直线的l：x=-m（m＞0）距离之比是一个常数λ，记点的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与λ值的关系；
（2）若λ=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，m=1时，得到的曲线为C₁，将曲线C₁向左平移一个单位得到曲线E，过点P（-2，0）的直线l₁与曲线E交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过F（1，0）的直线AF，BF分别交曲线E于D，Q，设$\overrightarrow{AF}=α\overrightarrow{FD}，\overrightarrow{BF}=β\overrightarrow{FQ}$，α，β∈R，求α+β的取值范围．

分析（1）设M（x，y），由题设有：$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=λ|{x+m}|$，故曲线C的方程为：（1-λ²）x²+y²-2mλ²x-m²λ²=0，分类讨论，即可得出结论；
（2）分类讨论，确定α=3-2x₁，β=3-2x₂⇒α+β=6-2（x₁+x₂），设l₁：y=k（x+2），由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消去y整理得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，利用韦达定理，即可得出结论．

解答解：（1）设M（x，y），由题设有：$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=λ|{x+m}|$
故曲线C的方程为：（1-λ²）x²+y²-2mλ²x-m²λ²=0
（i）λ=1时，曲线C的方程为：y²=2m（x+m）是抛物线；
（ii）λ≠1时，曲线C的方程为：$\frac{{{{（x-\frac{{m{λ^2}}}{{1-{λ^2}}}）}^2}}}{{\frac{{{m^2}{λ^2}}}{{{{（1-{λ^2}）}^2}}}}}+\frac{y^2}{{\frac{{{m^2}{λ^2}}}{{1-{λ^2}}}}}=1$λ＞1时，曲线C的方程为焦点在x轴上的双曲线； 0＜λ＜1时，曲线C的方程为焦点在x轴上的椭圆；
（2）当$λ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，m=1$时，曲线C₁的方程为：$\frac{{{{（x-1）}^2}}}{2}+{y^2}=1$，则曲线E的方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
设D（x₃，y₃），则$\overrightarrow{AF}=（1-{x_1}，-{y_1}），\overrightarrow{FD}=（{x_3}-1，{y_3}）$，由$\overrightarrow{AF}=α\overrightarrow{FD}$，得-y₁=αy₃，则$α=-\frac{y_1}{y_3}$，
（i）AD与x轴不垂直时，AD方程为：$y=\frac{y_1}{{{x_1}-1}}（x-1）$由 $\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{y_1}{{{x_1}-1}}（x-1）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消去x，整理得：$（3-2{x_1}）{y^2}+2{y_1}（{x_1}-1）y-y_1^2=0$．
由根与系数的关系有：${y_1}{y_3}=-\frac{y_1^2}{{3-2{x_1}}}⇒-\frac{y_1}{y_3}=3-2{x_1}⇒α=3-2{x_1}$；
（ii）AD与x轴垂直时，x₁=1，α=1也满足：α=3-2x₁，
同理可证：β=3-2x₂⇒α+β=6-2（x₁+x₂）
设l₁：y=k（x+2），由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消去y整理得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，
据题设有k≠0且△=（8k²）-²4（2k²+1）（8k²-2）＞0，∴0＜k²＜$\frac{1}{2}$，${x_1}+{x_2}=-\frac{{8{k^2}}}{{2{k^2}+1}}⇒α+β=6+\frac{{16{k^2}}}{{2{k^2}+1}}=14-\frac{8}{{2{k^2}+1}}$，$0＜{k^2}＜\frac{1}{2}⇒1＜2{k^2}+1＜2$，
∴α+β∈（6，10），故α+β的取值范围为（6，10）．